FINAL TRACK 5 · CLOSED-LOOP TEST
这套卷不是预测题，而是把教授确认的结构压成一次完整执行。请用纸笔作答；可以用你的 note sheet，但不要打开任何工坊。写完一整题后才能展开答案。
00 · INSTRUCTIONS
扫卷，标 MLE / BF / χ² / regression / T-F。
先短后长；BF 最长，放在状态稳定时。
只查二阶、support、df 与结论措辞。
Q1 · MLE · 22 POINTS
设 i.i.d.，密度为
(a) 从 likelihood 开始推导 的 MLE。不得直接引用结果。
(b) 求 的 MLE，并说明所用性质。
(c) 解释为什么“求导令零”在本题不会给出答案。
把 indicator 想成一堵会移动的墙。只要 ，至少有一个观察值落到模型不允许的区域，整份 likelihood 立刻变成 0。墙内 又随 一直上升，所以我们把 尽量向右推，直到刚好碰墙：。
评分点：L 与 indicator 5；合法区间 4；单调性与端点 6；invariance 4；解释 3。
Q2 · BAYES FACTOR · 24 POINTS
设 ， 已知。比较
(a) 写出完整 。
(b) 从积分定义推导 。明确展示平方和分解与“乘 1”补 PDF 常数。
(c) 写 ，并说明 时如何解释。
把 锁死，所以直接代入； 允许许多 ，所以用 prior 做加权平均。平方和分解把“样本内部散布”从关于 的部分剥开；“乘 1”把余下的钟形 kernel 补成合法 Normal PDF；最后才能用题目 hint 认出 的边际分布。
评分点：M₀ 4；分解 4；提出常数 3；乘 1 5；认边际 4；BF 与解释 4。
Q3 · χ² · 22 POINTS
研究者预先招募 名病例与 名对照，再记录每人是否暴露于某风险因素。观察到一个 2×2 表 。
(a) 判断 FMS / PMS / HS，并说明理由与检验名称。
(b) 用条件概率写 。
(c) 写 H₀ 下 fitted counts、Pearson statistic、df 与 的拒绝规则。
(d) 写出拒绝与不拒绝时的两种业务结论。
题目说研究者预先决定病例有多少、对照有多少，因此一个边际是设计者锁住的；这就是 PMS。锁住的是组别人数，不代表两边际都固定。接着问的是两个组的暴露概率是否相同，所以叫 homogeneity。计算公式与 independence 相同，但研究故事与 的语言不同。
评分点：sampling/test 5；H₀/H₁ 4；expected 4；T 3；df/rule 3；语言 3。
Q4 · REGRESSION · 24 POINTS
在简单线性回归 中，误差独立、均值 0、方差 。
(a) 令 ，证明 。
(b) 推导 ，，并解释 。
(c) 再加 Normal error 与 ，求 的分布。
平均数里有每个 ，斜率里也有每个 。展开 covariance 后，不同人的 配对因独立而为 0，只剩同一个人的 配对；这些剩余项合成 。于是预测均值 variance 没有交叉项，只剩中心的不确定性和离中心距离带来的斜率不确定性。
评分点：线性组合/双和 7；Var 链 7；距离解释 3；r 到 t 7。
Q5 · TRUE / FALSE · 8 POINTS
1. MLE 具有 invariance。
2. MLE 一定无偏。
3. GOF statistic 的分母应使用 observed count。
4. FMS、PMS、HS 的 χ² statistic 与 df 形式相同。
5. 证明 β̂₁ 无偏需要 Normal errors。
6. 若 p-value>α，可以接受 H₀。
7. BF 计算可丢掉与参数无关的常数。
8. Beta posterior 参数为 α+Σxᵢ−1 与 β+n−Σxᵢ−1。
SCORING · REPAIR, DON'T REREAD
| 分数 | 状态 | 下一步 |
|---|---|---|
| 90–100 | 结构已稳定 | 只看 Page 2 易错清单；停止加新内容。 |
| 75–89 | 可应考，但有单点漏步 | 只回流漏分题对应工坊的 mastery gate。 |
| 60–74 | 公式熟，推导链断 | 把最低的两题各闭卷重写一次。 |
| <60 | 仍在靠识别答案 | 按 MLE → χ² → regression → BF 顺序重走红色 MUST DO。 |
最后一次复习只检查漏步，不再展开新题型。