点估计给一个数,但那个数几乎肯定是错的—— 正好等于 的概率是零。所以我们改给一个范围,外加一句"我有多确信"。这一课教你一套造区间的通用机器(pivotal quantity),配齐五个成品公式,并讲透一件事:95% 到底是谁的 95%——这是 T/F 题最爱的坑。
这一节不含任何计算,但它是本课唯一一个纯概念考点,而且几乎每份卷子都会用 T/F 或简答问一次。
总体 ,真值 (红线)。每抽一次样就造一个 95% CI,画成一条横线:盖住真值=绿,没盖住=红。
别背五个公式——记一套方法,五个公式当场推。这一节就是那套方法。
看你要估什么:估 μ 且 σ 已知 → 用 Z;σ 未知 → 用 T;估 → 用 。
。对称分布(Z、t)取 ;不对称的 必须左右分别查。
纯代数移项。注意:除以负数或取倒数时不等号要翻转 —— 这正是 那个 CI 看起来"分位数长反了"的原因(第 4 节)。
最常考的一组。三个公式长得几乎一样,区别只在"用 σ 还是 S"和"查 z 还是 t"。
这个公式几乎所有人第一次都会写反。与其背它,不如推一遍——推过一次就再也不会反了。
有时你只关心一边:"平均寿命至少是多少"、"缺陷率最多是多少"。改动只有一处,但那一处最容易错。
目标参数变成 。结构还是"估计 ± 临界值 × 标准误",只是标准误要把两组的不确定性加起来。
考场上先用这张表定位,再动笔。直接抄进 note sheet。
| 要估什么 | 条件 | 枢轴量 | 置信区间 |
|---|---|---|---|
| μ | σ 已知 | ||
| μ | σ 未知, 小样本 | ||
| μ | σ 未知, n>30 | 近似 | |
| σ² | 正态总体 | ||
| μ₁−μ₂ | 方差已知/大样本 | ||
| μ₁−μ₂ | 方差未知相等 | ||
| 任意 θ (MLE) | 大样本 | (第3课) | |
| g(θ) | 大样本 | Delta method |
注意最后两行:第 3 课的 Wald CI 和 Delta CI 也在这张表里 —— 它们是同一台机器在"大样本 + MLE"情形下的产物,枢轴量是渐近标准正态。
先自己在纸上做完再展开。例 C 是复合题,最接近真实考题的组织方式。
敲进 note-sheet.tex 的 §5 置信区间 CI。这一节公式密度高,是明天最常翻的一块。