FINAL TRACK 2 · PROFESSOR CONFIRMED

χ² 满分工坊Goodness-of-fit & contingency tables.

GOF 确定考，列联表按考。你不需要算出 19.36；你必须知道期望从哪里来、分母为什么是期望、df 为什么要减参数、三种抽样方案为何用同一个统计量。

3 hoursright tail onlydf = a − b

O vs E

χ² 只是在问：观察计数离 H₀ 预测的期望计数有多远？

01 · ONE IDEA, TWO SETTINGS

GOF 和列联表其实是同一道题

GOF

一个分类变量。问：观察到的类别频数是否符合某个理论分布？

例：三扇门是否各 1/3；事故数是否 Poisson。

Contingency table

两个分类变量。问：行与列是否独立，或各组条件分布是否相同？

例：病例/对照 × 是否暴露二手烟。

共同骨架：H₀ 给出受限模型 → 在 H₀ 下求 MLE → 变成期望计数 → 比较与 → 数自由度 → 只看右尾。

CHEATSHEET · PAGE 1 · 右栏中部蓝条「χ² 家族：GOF（确定考）+ 列联表」

这一整块就是本课地图；Page 2 左下「B. GOF / 列联表」是考场作答骨架。

01.5 · A GOF EXAMPLE BEFORE THE FORMULA

先数一袋三色糖，再谈 χ²

教授慢讲

厂家说红、黄、蓝三种颜色一样多

你随手拿 12 颗。H₀ 说每种颜色概率都是 1/3，所以如果 H₀ 合理，中心预测就是每色 4 颗。这个 4 不是“必须看到”，只是 H₀ 给出的 expected count。

颜色	Observed O	Expected E	偏差 O−E
红	6	4	+2
黄	3	4	−1
蓝	3	4	−1

为什么偏差平方？正负偏差不能互相抵消；红多 2、黄少 1 都是“不符合”的证据。

为什么除以 E？同样差 2，在 expected=4 的小格很显眼；在 expected=400 的大格几乎不算什么。要用 H₀ 的规模做标准化。

为什么只看右尾？每格贡献都非负。总和越大，整体越不像 H₀。

中文把每一格“实际 − H₀ 预测”的标准化平方加起来。

→

Pearson statistic

χ² 没有在问“红色是不是多了”，而是在问“整袋糖的偏差总量，大到还能不能用随机波动解释”。

02 · FROM LRT TO PEARSON χ²

公式不是凭空出现的

吃透这条链，你就不会把分母写成观察值，也不会忘记 df 的来源。

两个世界各自最大化 likelihood

分子只允许 H₀ 的参数；分母允许完整模型。因为受限模型不能比无约束模型拟合更好，所以。

多项模型里，MLE 变成计数

无约束 MLE 让 fitted count 等于观察计数；H₀ 下 fitted count 是。

取 −2 log，把乘积拆开

偏离越大，越小，所以越大。

在 O = E 附近做二阶 Taylor

一阶项因总数约束相消；二阶项留下“平方偏差 / 期望”。

自由度 = 完整模型维度 − H₀ 维度

是的自由参数数，是的自由参数数。

为什么是右尾：，越大代表 O 与 E 越不相容。没有“负方向偏得很远”，所以 p-value 不乘 2。

03 · GOODNESS-OF-FIT

先问 H₀ 是否已经给完参数

情形	期望	df	例题
概率全部指定			HW4 Q2 三扇门
先估 d 个参数			HW4 Q3 Poisson

Poisson GOF 的完整逻辑

第一个 “−1” 来自所有类别概率加总为 1；第二个 “−1” 来自用同一批数据估了。

Expected count < 5 怎么办

把小期望类别与有意义的相邻类别合并，然后用合并后的新类别数重算 df。合并不是为了改变数据，而是让 χ² 近似可靠。

范围文件中的未确认边缘：HW4 Q3 的末格合并一次后仍略小于 5，再合并会让 df 退化。考试若出现，写出规则与自己的合并决定；不要把未确认做法装成唯一答案。

一个 GOF 有 7 个合并后的类别，并估了 2 个参数。df 是？

03.5 · SAME TABLE, DIFFERENT STUDY

抽样方案看研究者做了什么，不看表格外观

FMS · independence

随机抓 100 个人，再记录性别与是否喝咖啡

研究者只决定总共抓 100 人，没有预先规定男女各多少，也没有规定喝/不喝各多少。只固定总数 N，所以是 full multinomial sampling。问题是两个分类变量是否独立。

PMS · homogeneity

先找 50 名病例、50 名对照，再问是否暴露

病例/对照人数是研究设计先固定的，这个边际不会随机变化。每一组内部再像一个独立的 binomial/multinomial 实验，所以叫 product multinomial。问题是两组暴露分布是否相同。

HS · no association

两边人数都已经锁死，只随机打乱配对

例如 10 张“治疗”标签与 10 张“对照”标签已经固定，成功/失败总数也固定，只看标签如何随机落到结果上。两个边际都固定，因此是 hypergeometric sampling。

判型只问两句：

研究者在收集数据之前，固定了哪些组的人数？
只有 N 固定、一个边际固定，还是两个边际都固定？

“表里行列总数已经写出来”不代表它们在抽样前被固定。每张完成后的表当然都有 margins；关键是研究设计有没有预先锁定它们。

04 · CONTINGENCY TABLES

先判“设计时固定了什么”

三种方案不是看表长什么样，而是看抽样设计。统计量相同，H₀ 的语言不同。

固定	Sampling	Test	H₀
只固定总数 N	full multinomial (FMS)	independence
固定一个边际	product multinomial (PMS)	homogeneity	各组条件分布相同
两个边际都固定	hypergeometric (HS)	no association	行列无关联

为什么期望都是“行 × 列 ÷ 总”

独立性下，落入 (i,j) 格的概率分解为行概率乘列概率。各自用边际比例估计：

期望表会自动保留原表的 row totals 与 column totals。这是最快的自检。

列联表 df 不要死背：数参数

完整表有 rc 个概率，但总和为 1，少一个；H₀ 下只需选择行边际与列边际，各自也受总和约束。

Case-control 研究预先选定 199 名病例与 375 名对照。为什么是 PMS？

05 · FULL-CREDIT RESPONSE

一题七个给分点，按顺序写

① 根据研究设计，固定了 ____，故为 FMS / PMS / HS。
② 因此检验名称为 independence / homogeneity / no association。
③ H₀：____；H₁：otherwise。
④ H₀ 下受限 MLE 给出 m̂ᵢⱼ=RᵢCⱼ/N。
⑤ T=ΣΣ(Oᵢⱼ−m̂ᵢⱼ)²/m̂ᵢⱼ。
⑥ df=(r−1)(c−1)，若 T>χ²(df,0.95) 则拒绝 H₀。
⑦ 业务结论：“有/没有足够证据说明 ____ 与 ____ 有关联/各组分布不同。”

CHEATSHEET · PAGE 2 · 右栏「符号版范例：列联表整题该怎么写」与「GOF 该怎么写」

考场如果卡住，直接按范例的句子结构替换研究对象。不要写“接受 H₀”。

若 p-value 大于 α，正确结论是？

06 · TARGETED DRILLS

四题覆盖全家族

HW4 · Q2 MUST DO

三扇门：fully specified GOF

不算 2.867。写、、df=2、右尾拒绝规则与“是否有门偏好”的结论模板。

HW4 · Q3 MUST DO

Poisson GOF：先估参数再数 df

把 (a) 的 Poisson MLE 完整推出来；再写与 df=k−2。标注小期望合并规则。

PACKET 7 · Q1 = PRACTICE Q2 MUST DO

二手烟 case-control：PMS 全流程

先判 fixed margin，再写 homogeneity 的 H₀。它与 practice exam 一字未改，是最高优先。

HW4 · Q4 / Q5(b)

3×2 independence + sample size effect

Q5(b) 的核心不是算数：所有计数乘 c 时，期望也乘 c，故乘 c，但 df 不变。

07 · MASTERY GATE

能做决定，不只是能背公式

本课 mastery0/5

我能口述 Λ → −2logΛ → Taylor → Pearson T 的因果链。我能区分 fully specified GOF 与 estimated-parameter GOF 的 df。我能在 30 秒内用“固定了什么”判 FMS/PMS/HS。我能推出 m̂ᵢⱼ=RᵢCⱼ/N，并用 a−b 推出 (r−1)(c−1)。我会写右尾拒绝规则和准确业务结论，不写“接受 H₀”。